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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A 7. POLYNÔMES}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\fbox{{\LARGE POLYN\^{O}MES}}

\begin{enumerate}
\item : Montrer que $P_{n}\overset{def}{=}\left( 1+X\right) \left(
1+X^{2}\right) \left( 1+X^{4}\right) \cdots \left( 1+X^{2^{n}}\right) =%
\overset{2^{n+1}-1}{\underset{k=0}{\dsum }}X^{k}$

\begin{enumerate}
\item \hspace{0in}Par r\'{e}currence$.$

\item En multipliant $P_{n}$ par $X-1.$
\end{enumerate}

\item Soit $A$ un polyn\^{o}me de degr\'{e} $n$ de $\mathbb{K}\left[ X\right]
$ ; on consid\`{e}re l'ensemble $\mathcal{M}_{A}=A.\mathbb{K}[X]$ des
multiples de $A$ (attention : ne pas confondre avec $vect(A)).$ Montrer que $%
\mathcal{M}_{A}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}\left[ X\right] $
et que $\mathbb{K}_{n-1}\left[ X\right] $ est un suppl\'{e}mentaire de $%
\mathcal{M}_{A}$ dans $\mathbb{K}\left[ X\right] .$

\item : Soit $A,B,$ et $P$ trois polyn\^{o}mes de $\mathbb{K}\left[ X\right] 
$ avec $\deg P\geqslant 1.$ Montrer que : 
\begin{equation*}
A\left( P\right) =B\left( P\right) \Rightarrow A\left( X\right) =B\left(
X\right)
\end{equation*}

Indication : montrer que la famille $\left( 1,P,...,P^{n}\right) $ est libre.

\item : Soit $P\in \mathbb{R}\left[ X\right] $ ; que dire de $P$ dans les
cas suivants ?

\begin{enumerate}
\item $P\left( 0\right) =P(1)=P(2)=...$ (\`{a} l'infini)

\item la fonction polyn\^{o}me associ\'{e}e \`{a} $P$ est p\'{e}riodique de p%
\'{e}riode $T.$

\item $P\left( X+1\right) =P\left( X\right) $

\item $P\left( X+1\right) =-P\left( X\right) $
\end{enumerate}

\item : Pourquoi les fonctions suivantes ne sont-elles pas polynomiales ? 
\begin{eqnarray*}
f_{1} &:&\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}} \\ 
x\mapsto \left\vert x\right\vert%
\end{array}%
\right. \quad ;\;f_{2}:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}} \\ 
x\mapsto \sqrt{\left\vert x\right\vert }%
\end{array}%
\right. \quad ;\;f_{3}:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}} \\ 
x\mapsto e^{x}%
\end{array}%
\right. \\
f_{4} &:&\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}} \\ 
x\mapsto \cos x%
\end{array}%
\right. \quad ;\;f_{5}:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{R\rightarrow \mathbb{R}} \\ 
x\mapsto \cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}%
\end{array}%
\right. \quad ;\;f_{6}:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{C\rightarrow \mathbb{C}} \\ 
z\mapsto \bar{z}%
\end{array}%
\right.
\end{eqnarray*}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les racines de $P_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left(
\left( -1\right) ^{k}\frac{\overset{k-1}{\underset{q=0}{\prod }}\left(
X-q\right) }{k!}\right) =1-X+\dfrac{X\left( X-1\right) }{2}-...+\left(
-1\right) ^{n}\dfrac{X\left( X-1\right) ...\left( X-n+1\right) }{n!}$\newline
( par convention $\overset{-1}{\underset{q=0}{\prod }}\left( X-q\right) =1)$
; en d\'{e}duire la factorisation de $P_{n}\left( X\right) .$

\item Calculer $P_{n}\left( 0\right) $ et $P_{n}\left( n+1\right) $ .

\item Montrer que $P_{n}\left( n+1-X\right) =\left( -1\right)
^{n}P_{n}\left( X\right) $ ; que ceci signifie-t-il pour la courbe de la
fonction associ\'{e}e \`{a} $P_{n}?$
\end{enumerate}

\item : Les polyn\^{o}mes d'interpolation de Lagrange :

\begin{enumerate}
\item On donne $x_{1},x_{2}\in \mathbb{K}$ avec $x_{1}\neq x_{2}$ et $%
y_{1},y_{2}\in \mathbb{K}.$ On pose alors : 
\begin{equation*}
L\left( X\right) =\dfrac{X-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}y_{1}+\dfrac{X-x_{1}}{%
x_{2}-x_{1}}y_{2}
\end{equation*}%
V\'{e}rifier que $L\left( x_{1}\right) =y_{1}$ et $L\left( x_{2}\right)
=y_{2}.$

\item G\'{e}n\'{e}ralisation : \newline
Soient $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb{K}$ tous distincts et $%
y_{1},y_{2},...,y_{n}\in \mathbb{K}.$ \newline
D\'{e}terminer un polyn\^{o}me $L$ de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal 
\`{a} $n-1$ tel que $L\left( x_{i}\right) =y_{i}$ pour tout $i\in \left[
\mid 1,n\mid \right] $\newline
Montrer l'unicit\'{e} de $L.$

\item Soit $P$ un polyn\^{o}me et $L$ le polyn\^{o}me de Lagrange d\'{e}fini
par $L\left( x_{i}\right) =P\left( x_{i}\right) $ pour tout $i\in \left[
\mid 1,n\mid \right] $\newline
. Montrer que $L$ n'est autre que le reste de la division euclidienne de $P$
par $\left( X-x_{1}\right) ...\left( X-x_{n}\right) .$

\item Corollaire :\newline
D\'{e}montrer que si $I\subset \mathbb{K}$ est fini, alors $\mathcal{P}%
\left( I,\mathbb{K}\right) =\mathbb{K}^{I}$ autrement dit que toute
application de $I$ vers $\mathbb{K}$ est polynomiale.
\end{enumerate}

\item : Montrer que les racines de $1+X+\dfrac{X^{2}}{2}+\dfrac{X^{3}}{3!}%
+\cdots +\dfrac{X^{n}}{n!}$ sont simples.

\item : Soit $\varphi :\left\vert 
\begin{array}{l}
\mathbb{K}\left[ X\right] \rightarrow \mathbb{K}\left[ X\right] \\ 
P\mapsto P(X)+P\left( X+1\right)%
\end{array}%
\right. $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi $ est bijective, en utilisant le fait qu'un
certain syst\`{e}me est de Cramer.

\item Calculer $\varphi ^{-1}\left( 2\right) ;\varphi ^{-1}\left( 2X\right)
;\varphi ^{-1}\left( 2X^{2}\right) .$
\end{enumerate}

\item Interpr\'{e}tation du reste de la division euclidienne.

Soit $A$ un polyn\^{o}me et $a$ et $b$ deux \'{e}l\'{e}ments distincts de $K$
;

\begin{enumerate}
\item Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B=\left(
X-a\right) ^{2}\left( X-b\right) .$ Montrer que $R\left( a\right) =A\left(
a\right) $ , $R^{\prime }\left( a\right) =A^{\prime }\left( a\right) $ et $%
R\left( b\right) =A\left( b\right) ;$ montrer l'unicit\'{e} d'un polyn\^{o}%
me $S$ de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2 v\'{e}rifiant $S\left(
a\right) =A\left( a\right) $ , $S^{\prime }\left( a\right) =A^{\prime
}\left( a\right) $ et $S\left( b\right) =A\left( b\right) .$

\item * G\'{e}n\'{e}raliser la propri\'{e}t\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente.
\end{enumerate}

\item * : Algorithme de Horner :\newline
Soient $a_{0},a_{1},...,a_{n}\in \mathbb{K}$ , $P=\overset{n}{\underset{k=0}{%
\dsum }}a_{k}X^{k},$ et $x\in \mathbb{K}.$ On pose $b_{n}=a_{n}$ puis par r%
\'{e}currence descendante sur $k\in \left[ \mid 1;n\mid \right] ,$\quad $%
b_{k-1}=xb_{k}+a_{k-1}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $b_{n}X^{n-1}+b_{n-1}X^{n-2}+\cdots +b_{2}X+b_{1}$ et $%
b_{0}$ sont respectivement le quotient et le reste de la division de $P$ par 
$X-x.$

\item Que vaut par cons\'{e}quent $b_{0}$ ?

\item Comparer le nombre d'op\'{e}rations n\'{e}cessaires pour calculer $%
b_{0}$ par cette m\'{e}thode avec le nombre d'op\'{e}rations n\'{e}cessaires
pour calculer $a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}.$

REM 1 : on pr\'{e}sente habituellement les calculs sous la forme : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
$a_{n}$ & $a_{n-1}$ & ........................ & $a_{0}$ \\ \hline
$b_{n}=a_{n}$ & $b_{n-1}=xb_{n}+a_{n-1}$ & ........................ & $b_{0}$
\\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

REM 2 : le calcul de $P(x)$ par cette m\'{e}thode correspond \`{a} l'\'{e}%
criture, appel\'{e}e forme de Horner du polyn\^{o}me : 
\begin{equation*}
P\left( x\right) =a_{0}+x\left( a_{1}+x\left( a_{2}+............+x\left(
a_{n-1}+a_{n}x\right) \right) \right)
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item * : Autour des nombres alg\'{e}briques :\newline
On dit qu'un nombre complexe est \textit{alg\'{e}brique} s'il est racine
d'un polyn\^{o}me \`{a} coefficients entiers.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que toute racine d'un polyn\^{o}me \`{a} coefficients 
\textit{rationnels} est alg\'{e}brique.

\item V\'{e}rifier que tout rationnel, $\sqrt{2},i$ sont alg\'{e}briques ;
mais on d\'{e}montre que $\pi $ et $e$ ne le sont pas (on dit qu'ils sont
"transcendants").

\item Montrer que si $x$ est alg\'{e}brique, alors

$-x$ est alg\'{e}brique

$x+r$ est alg\'{e}brique pour tout $r\in \mathbb{Q}$

$rx$ est alg\'{e}brique pour tout $r\in \mathbb{Q}^{\ast }$

$\dfrac{1}{x}$ est alg\'{e}brique (si $x\neq 0$).

\item Montrer que $\sqrt{2}+\sqrt{3},\quad \sqrt{2}+\sqrt[3]{3},\ \ 2\cos 
\dfrac{\pi }{9}$ sont alg\'{e}briques.

\item Que resterait-il \`{a} d\'{e}montrer pour pouvoir affirmer que
l'ensemble $\mathbb{A}$ des nombres alg\'{e}briques est un sous-corps de $%
\mathbb{C}$ ?
\end{enumerate}

\item * Suite du 12.

Les espaces vectoriels ici consid\'{e}r\'{e}s sont \`{a} coefficients
rationnels. Soit $x$ un complexe.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x$ est alg\'{e}brique ssi $F_{x}=Vect$ $\left( \left(
x^{k}\right) _{k\in \mathbb{N}}\right) =\underset{n\in \mathbb{N}}{\dbigcup }%
Vect$ $\left( 1,x,...,x^{n}\right) $ est de dimension finie.

\item Soient $x$ et $y$ deux nombres alg\'{e}briques ; montrer que $%
F_{x+y}=Vect$ $\left( \left( x^{i}y^{j}\right) _{i,j\in \mathbb{N}}\right) $
; en d\'{e}duire que $x+y$ est alg\'{e}brique.

\item Montrer que $xy$ est alg\'{e}brique.
\end{enumerate}

\item : Soit $P\in \mathbb{Q}\left[ X\right] .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $P\left( \sqrt{2}\right) =0,$ alors $P\left( -\sqrt{2}%
\right) =0$ et que donc $P$ est divisible par $X^{2}-2$ dans $\mathbb{Q}%
\left[ X\right] .$

\item En d\'{e}duire que si $P\left( 1+\sqrt{2}\right) =0$ alors $P\left( 1-%
\sqrt{2}\right) =0.$
\end{enumerate}

\item * : \`{A} l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left( \mathbf{E}\right)
:a_{n}y^{\left( n\right) }+a_{n-1}y^{\left( n-1\right) }+\cdots
+a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=f\left( x\right) ,$ on associe le polyn\^{o}me $%
P=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k},$ et pour l'expression $a_{n}y^{\left(
n\right) }+a_{n-1}y^{\left( n-1\right) }+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y,$
on note plus simplement $P\left[ y\right] .$\newline
Ainsi $\left( \mathbf{E}\right) $ s'\'{e}crit aussi : $P\left[ y\right]
=f\left( x\right) $

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left[ e^{\lambda x}\right] ,$ et en d\'{e}duire une
solution particuli\`{e}re de \textquotedblleft\ $P\left[ y\right]
=e^{\lambda x}$ \textquotedblright\ lorsque $P\left( \lambda \right) \neq 0.$

\item Montrer que $P\left[ xe^{\lambda x}\right] =\left( P\left( \lambda
\right) x+P^{\prime }\left( \lambda \right) \right) e^{\lambda x}$ et en d%
\'{e}duire une solution particuli\`{e}re de \textquotedblleft $P\left[ y%
\right] =e^{\lambda x}$\textquotedblright\ lorsque $\lambda $ est racine
simple de $P.$

\item G\'{e}n\'{e}raliser au cas o\`{u} $\lambda $ est racine d'ordre $k$ de 
$P.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}terminer tous les automorphismes de l'anneau $\mathbb{C}%
\left[ X\right] ,$ c'est-\`{a} dire les bijections $\phi $ de $\mathbb{C}%
\left[ X\right] $ dans lui-m\^{e}me v\'{e}rifiant, pour tous $P,Q$ de $%
\mathbb{C}\left[ X\right] $%
\begin{equation*}
\phi \left( P+Q\right) =\phi \left( P\right) +\phi \left( Q\right) \text{ et 
}\phi \left( PQ\right) =\phi \left( P\right) \phi \left( Q\right)
\end{equation*}

\item : D\'{e}composer en produit de facteurs irr\'{e}ductibles dans $%
\mathbb{R}\left[ X\right] $ et dans $\mathbb{C}\left[ X\right] $ (ordre
indiff\'{e}rent). 
\begin{eqnarray*}
&&X^{3}-1\quad ;\;X^{3}+1\quad ;\;X^{4}-1\quad ;\;X^{4}+1\quad
;\;X^{4}+X^{2}+1\quad ;\;X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\quad ; \\
&&\;X^{12}-1\quad ;\;X^{6}+1\quad .
\end{eqnarray*}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}composer en produit de facteurs irr\'{e}ductibles dans $\mathbb{R%
}\left[ X\right] $ le polyn\^{o}me $X^{2n}-2X^{n}\cos \left( 2n\theta
\right) +1.$\newline
rep : $\overset{n-1}{\underset{k=0}{\prod }}\left( X^{2}-2\cos \left(
2\theta +2k\dfrac{\pi }{n}\right) X+1\right) $

\item Substituer $1$ \`{a} l'ind\'{e}termin\'{e}e $X$ dans l'\'{e}galit\'{e}
obtenue et en d\'{e}duire que $\sin n\theta =\pm 2^{n-1}\sin \theta \overset{%
n-1}{\underset{k=1}{\prod }}\sin \left( \theta +\dfrac{k\pi }{n}\right) ,$
puis que 
\begin{equation*}
\sin \dfrac{\pi }{n}\sin \dfrac{2\pi }{n}\cdots \sin \dfrac{\left(
n-1\right) \pi }{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}
\end{equation*}%
\newline
En d\'{e}duire la valeur de $\sin 1{{}^{\circ }}\sin 2{{}^{\circ }}...\sin 89%
{{}^{\circ }}\sin 90{{}^{\circ }}$ (cf. exercice 3. des fonctions
circulaires).
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left( 1-j\right) \left( 1-j^{2}\right) $ et $\left(
2-j\right) \left( 2-j^{2}\right) $

\item Soit $P=1+X+X^{2}+\cdots +X^{n-1}$ avec $n\in \mathbb{N}^{\ast }.$
Rappeler la factorisation de $P$ dans $\mathbb{C}\left[ X\right] $ exprim%
\'{e}e avec $u=e^{\frac{2i\pi }{n}}.$

\item Calculer $\left( 1-u\right) \left( 1-u^{2}\right) \cdots \left(
1-u^{n-1}\right) $ et $\left( 2-u\right) \left( 2-u^{2}\right) \cdots \left(
2-u^{n-1}\right) .$ V\'{e}rifier le calcul de la premi\`{e}re question.

\item On consid\`{e}re un polygone r\'{e}gulier \`{a} $n$ c\^{o}t\'{e}s
inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que le produit des longueurs des $%
n-1$ segments joignant un sommet aux autres sommets est \'{e}gal \`{a} $n$.%
\begin{equation*}
\FRAME{itbpF}{2.034in}{1.9787in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
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\end{equation*}
\end{enumerate}

\item * : Application de l'exercice 19.

\begin{enumerate}
\item En remarquant que $\sin \dfrac{k\pi }{n}=-\dfrac{e^{-i\frac{k\pi }{n}}%
}{2i}\left( 1-u^{k}\right) ,$ d\'{e}montrer la formule : 
\begin{equation*}
\sin \dfrac{\pi }{n}\sin \dfrac{2\pi }{n}\cdots \sin \dfrac{\left(
n-1\right) \pi }{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item : Soit $P=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+aX+1$ un polyn\^{o}me \`{a} coefficients
r\'{e}els. Supposant que $P$ poss\`{e}de une racine $z_{1}\in \mathbb{C}$
avec $z_{1}\notin \mathbb{R}$ et $\left\vert z_{1}\right\vert \neq 1,$
trouver les trois autres racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ autres que $z_{1},$
en fonction de $z_{1}.$

\item : Soit $f\in \mathcal{P}\left( \mathbb{C},\mathbb{C}\right) $ de degr%
\'{e} $n.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $n\geqslant 1$ alors $f$ est surjective.

\item Montrer que si $n\geqslant 2$ alors $f$ n'est pas injective.

\item Montrer que ces r\'{e}sultats sont faux pour $f\in \mathcal{P}\left( 
\mathbb{R},\mathbb{R}\right) .$
\end{enumerate}

\item * : Localisation des racines complexes.\newline
D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de D'Alembert, on sait qu'un polyn\^{o}me 
\`{a} coefficients complexe poss\`{e}de $n$ racine complexes, mais le th\'{e}%
or\`{e}me ne dit pas o\`{u} elles se trouvent !\newline
Soit $P=\overset{n}{\underset{k=0}{\dsum }}a_{k}X^{k}$ un polyn\^{o}me $%
unitaire$ de degr\'{e} $n$ \`{a} coefficients complexes ($a_{n}=1$), $z$
l'une de ses racines, et $A=\overset{n-1}{\underset{k=0}{\max }}\left\vert
a_{k}\right\vert $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\vert z\right\vert ^{n}\leqslant A\overset{n-1}{%
\underset{k=0}{\dsum }}\left\vert z\right\vert ^{k}$.

\item En d\'{e}duire que $\left\vert z\right\vert \leqslant A+1$ (les images
des racines se trouvent donc toutes dans le disque de centre $O$ et de rayon 
$A+1)$.

\item D\'{e}terminer par exemple un majorant du module des racines de $%
\left( 2+i\right) X^{3}-7iX^{2}+\left( 9i-2\right) X-3i$ ; puis d\'{e}%
terminer exactement ces racines, et le maximum de leur module ; comparer
avec le majorant obtenu pr\'{e}c\'{e}demment.
\end{enumerate}

\item : Les polyn\^{o}mes r\'{e}els de signe constant.\newline
Soit $P$ un polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} $%
n\geqslant 1$ v\'{e}rifiant $\forall x\in \mathbb{R}$ $P(x)\geqslant 0.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $P$ n'a pas de racine complexe non r\'{e}elle, alors $%
\exists Q\in \mathbb{R[}X\mathbb{]\,\,}/\,\,P=Q^{2}.$

\item Montrer que si $P$ n'a pas de racine r\'{e}elle, alors $\exists A,B\in 
\mathbb{R[}X\mathbb{]\,\,}/\,\,P=A^{2}+B^{2}.$

\item Que peut-on donc dire dans le cas g\'{e}n\'{e}ral ?
\end{enumerate}

\item : Les polyn\^{o}mes r\'{e}els de signe constant, autre formulation.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le produit de deux sommes de deux carr\'{e}s de polyn\^{o}%
mes est une somme de deux carr\'{e}s de polyn\^{o}mes.

\item Soit $P$ un polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} $%
n\geq 1$ v\'{e}rifiant $\forall x\in \mathbb{R}\ \ P(x)\geqslant 0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que ses racines r\'{e}elles sont d'ordre pair.

\item Ecrire la d\'{e}composition de $P$ en produit de facteurs irr\'{e}%
ductibles dans $\mathbb{R}$ et montrer en utilisant a) que $\exists A,B\in 
\mathbb{R[}X\mathbb{]\,\,}/\,\,P=A^{2}+B^{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item : R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}^{3}$ : $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=3 \\ 
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2 \\ 
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1%
\end{array}%
\right. .$

\item : Soit $x,y,z$ tels que : $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=3 \\ 
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 \\ 
x^{3}+y^{3}+z^{3}=7%
\end{array}%
\right. .$\newline
Calculer $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ et $x^{5}+y^{5}+z^{5}.$

\item : D\'{e}terminer les racines du polyn\^{o}me $18X^{3}+81X^{2}-44X+5$
sachant que l'une est le double de l'autre.

\item : Soit $P_{n}=\left( X+1\right) ^{n}-\left( X-1\right) ^{n}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les racines complexes de $P_{n}$ ; donner sa
factorisation dans $\mathbb{C}\left[ X\right] .$\newline
R\'{e}ponse : $P_{n}=2n\overset{n-1}{\underset{k=1}{\prod }}\left( X+i\cot 
\dfrac{k\pi }{n}\right) $

\item Calculer la somme des racines de $P_{n},$ le produit de ses racines,
la somme du carr\'{e} de ses racines.

\item En d\'{e}duire que si $n=2p+1,$ $\underset{k=1}{\overset{p}{\dprod }}%
\tan \left( k\dfrac{\pi }{n}\right) =\sqrt{n}$ et $\underset{k=1}{\overset{p}%
{\dsum }}\cot ^{2}\left( k\dfrac{\pi }{n}\right) =\dfrac{\left( n-1\right)
\left( n-2\right) }{6}.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans $\mathbb{C}\left[ X\right] ,\ P=X^{3}+pX+q$ poss\`{e}%
de une racine multiple si et seulement si $4p^{3}+27q^{2}=0.$

Indication : \'{e}crire que $P$ et $P^{\prime }$ ont une racine commune.

\item * Montrer que $Q=X^{5}+pX^{2}+q$ poss\`{e}de une racine multiple si et
seulement si $q\left( 3125q^{3}+108p^{5}\right) =0.$
\end{enumerate}

\item Soient $a,b,c$ les racines de $P=X^{3}+pX+q$ ; on demande de calculer $%
\Delta =\left( a-b\right) ^{2}\left( b-c\right) ^{2}\left( c-a\right) ^{2}$
en fonction de $p$ et $q$.

Indication : calculer $P^{\prime }\left( a\right) P^{\prime }\left( b\right)
P^{\prime }\left( c\right) .$

Pour avoir la r\'{e}ponse avec maple : eliminate(\{ (a - b)\symbol{94}2* (b
- c)\symbol{94}2 *(c - a)\symbol{94}2 =0, a + b + c =0, a*b + b*c + c*a =p,
a *b*c = -q\}, \{a, b, c\}).

Comparer avec 30 a).

\item * : Soit $P=X^{3}+pX^{2}+qX+r\in \mathbb{C}\left[ X\right] $

\begin{enumerate}
\item Prouver que $P$ a une racine \'{e}gale \`{a} la somme des autres si et
seulement si $p^{3}-4pq+8r=0$ ; quelles sont alors ces racines ?

\item Donner de m\^{e}me une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour que 
$P$ ait ses racines en progression arithm\'{e}tique.

\item Donner de m\^{e}me une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour que 
$P$ ait ses racines en progression g\'{e}om\'{e}trique.
\end{enumerate}

\item * : Soit $P=$ $\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}a_{k}X^{k}$ un polyn%
\^{o}me \`{a} coefficients complexes de degr\'{e} $n$ ; notons $%
z_{1},...,z_{p}$ ses racines, $z_{i}$ \'{e}tant d'ordre $\alpha _{i}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overset{p}{\underset{k=1}{\sum }}\alpha _{k}z_{k}=-%
\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}};$\newline
D\'{e}signons par $M_{i}$ le point-image de $z_{i}$ dans le plan ; le
barycentre des $\left( M_{i},\alpha _{i}\right) $ est un point que nous
noterons $G_{P}.$

\item D\'{e}montrer que si $n\geqslant 2$, $G_{P}=G_{P^{\prime }}.$

\item En d\'{e}duire que $G_{P}$ est le point-image de l'unique racine de $%
P^{(n-1)}.$

\item Etudier l'exemple : $P=\left( 3+i\right) X^{4}-6\left( 1+2i\right)
X^{3}+7\left( -1+3i\right) X^{2}+8\left( 2-i\right) X-2(3+i).$
\end{enumerate}

\item : Etude du polyn\^{o}me du 3\`{e}me degr\'{e} r\'{e}duit.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\Delta =4p^{3}+27q^{2}>0,$ le polyn\^{o}me r\'{e}el $%
X^{3}+pX+q$ poss\`{e}de trois racines distinctes, dont l'une est r\'{e}elle
et les deux autres complexes non r\'{e}elles conjugu\'{e}es, et que si $%
\Delta <0,$ il poss\`{e}de trois racines r\'{e}elles distinctes.

\item On se place dans le cas o\`{u} $\Delta >0$ ; soit $a$ la racine r\'{e}%
elle et $u$ et $\overline{u}$ les racines non r\'{e}elles ; montrer que $%
\func{Re}\left( u\right) =-\dfrac{a}{2}$ et $\left\vert u\right\vert =\sqrt{%
p+a^{2}}.$
\end{enumerate}

\item * : R\'{e}solution de l'\'{e}quation du troisi\`{e}me degr\'{e}.

\begin{enumerate}
\item Suppression du terme en $X^{2}.$

Montrer que l'on peut toujours trouver un r\'{e}el $d$ tel que le polyn\^{o}%
me \`{a} coefficients r\'{e}els $X^{3}+aX^{2}+bX+c$ s'\'{e}crive $%
Y^{3}+pY+q, $ avec $Y=X-d.$

\item Montrer que si $p\neq 0$ et $\Delta =4p^{3}+27q^{2}\neq 0,$ on peut
trouver 4 complexes $\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ,$ tels que $%
X^{3}+pX+q=\alpha \left( X+\lambda \right) ^{3}-\beta \left( X+\mu \right)
^{3}.$

On trouvera $\lambda +\mu =\dfrac{3q}{p},\lambda \mu =-\dfrac{p}{3},\alpha =%
\dfrac{\mu }{\mu -\lambda },\beta =\dfrac{\lambda }{\mu -\lambda }.$

\item R\'{e}soudre avec cette m\'{e}thode les \'{e}quations $%
2x^{3}+6x^{2}-9=0,x\in \mathbb{R}$ et $x^{3}=15x+4,x\in \mathbb{R}$ (on
donne $\left( 2+i\right) ^{3}=2+11i).$
\end{enumerate}

\item Les sommes de Newton.

Soit $x_{1},...,x_{n}$ des scalaires. On cherche des relations reliant les
sommes de Newton $s_{p}=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{k}^{p}$ aux
fonctions sym\'{e}triques \'{e}l\'{e}mentaires $\sigma _{1},...,\sigma _{n}$
des $x_{k}$ ; on notera $P$ le polyn\^{o}me $\left( X-x_{1}\right) ...\left(
X-x_{n}\right) .$

\begin{enumerate}
\item \ Montrer que si $p\geqslant n,$ alors $s_{p}=\underset{k=1}{\overset{n%
}{\dsum }}\left( -1\right) ^{k-1}\sigma _{k}s_{p-k}.$

\item * : Montrer que si $1\leqslant p\leqslant n,$ alors $s_{p}=\underset{%
k=1}{\overset{p-1}{\dsum }}\left( -1\right) ^{k-1}\sigma _{k}s_{p-k}+\left(
-1\right) ^{p}p\sigma _{p}.$

Indication : effectuer la division euclidienne de $P$ par $X-x_{k}\ $et
regarder le coefficient de $X^{p-1}$ dans $\underset{k=1}{\overset{p}{\dsum }%
}\dfrac{P}{X-x_{k}}=P^{\prime }.$

\item Par exemple, pour $n=3,$ utiliser ces formules pour calculer $%
s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},$ en fonction de $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma
_{3}.$

\fbox{{\LARGE FRACTIONS RATIONNELLES}}

G\'{E}N\'{E}RALIT\'{E}S
\end{enumerate}

\item : Soient $P_{1},\;P_{2},\;Q_{1},\;Q_{2}$ des polyn\^{o}mes v\'{e}%
rifiant : $\dfrac{P_{1}}{Q_{1}}=\dfrac{P_{2}}{Q_{2}},$ avec $Q_{1}$ et $%
Q_{2} $ polyn\^{o}mes unitaires de m\^{e}me degr\'{e}.\newline
A-t-on n\'{e}cessairement $Q_{1}=Q_{2}$ ?

\item * :

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathbb{F}=\left\{ F\in \mathbb{K}\left( X\right)
\;/\;\deg F<0\right\} $ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}\left(
X\right) $ ; en d\'{e}terminer un suppl\'{e}mentaire simple dans $\mathbb{K}%
\left( X\right) .$

\item Idem avec $\mathbb{G}=\left\{ F\in \mathbb{K}\left( X\right) \;/\;\deg
F\leqslant 0\right\} .$
\end{enumerate}

D\'{E}COMPOSITIONS EN\ \'{E}L\'{E}MENTS SIMPLES

\item : D\'{e}composer en \'{e}l\'{e}ments simples dans $\mathbb{K}\left[ X%
\right] .$

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X-3}{X^{3}+X^{2}-X-1}$

\item $\dfrac{X^{2}+3X+1}{X^{4}+2X^{3}+X^{2}}$

\item $\dfrac{X^{5}+2X^{4}+2X^{3}-X^{2}+3X+1}{%
X^{6}+X^{5}-2X^{4}-2X^{3}+X^{2}+X}$\newline

\item $\dfrac{1}{\left( X-a\right) ^{2}\left( X-b\right) }(a\neq b).$

\item $\dfrac{n!}{X\left( X+1\right) (X+2)...\left( X+n\right) }$%
(qu'obtient-on de beau en faisant $X:=1$ ?)

\item $\dfrac{\left( X+1\right) ^{n}}{X^{n}}$ ; $\dfrac{X^{n}}{\left(
X-1\right) ^{n}}.$

\item $\dfrac{1}{X\left( X-1\right) ^{3}}$ ; $\dfrac{1}{X\left( X-1\right)
^{n}}.$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}composer en \'{e}l\'{e}ments simples dans $\mathbb{C}\left[ X%
\right] .$

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{X^{n}-1},\dfrac{X^{n}+1}{X^{n}-1}$ (utiliser la formule $%
a_{1}=\dfrac{A\left( x_{0}\right) }{B^{^{\prime }}\left( x_{0}\right) })$

\item $\dfrac{1}{X\left( X^{n}-1\right) }$.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\underset{n=2}{\overset{+\infty }{\dsum }}\dfrac{1}{%
n^{2}-1}=\dfrac{3}{4},\quad \underset{n=2}{\overset{+\infty }{\dsum }}\dfrac{%
1}{n^{3}-n}=\dfrac{1}{4}$ et $\underset{n=3}{\overset{+\infty }{\dsum }}%
\dfrac{n^{2}}{\left( n^{2}-1\right) \left( n^{2}-4\right) }=\dfrac{5}{9}.$

\item Montrer que $\underset{n=2}{\overset{N}{\dsum }}\dfrac{n}{n^{2}-1}%
=h_{N}-\dfrac{3}{4}$ $+o(1)$ o\`{u} $h_{N}=\underset{n=1}{\overset{N}{\dsum }%
}\dfrac{1}{n}$ ; en d\'{e}duire$\underset{n=2}{\overset{+\infty }{\dsum }}%
\dfrac{n}{n^{2}-1}$ ;

\item Calculer $\underset{n=2}{\overset{+\infty }{\dsum }}\dfrac{1}{n\left(
n-1\right) ^{2}}$, sachant que$\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\dsum }}%
\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{6}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

R\'{e}ponses : 39.a. $X+1+\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^{2}}$ ; 39.b. $%
\dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{X^{2}}-\dfrac{1}{X+1}-\dfrac{1}{(X+1)^{2}};$ 39.c : $%
\dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{\left( X-1\right) ^{2}}+\dfrac{1}{(X+1)^{3}}$

39.e : $\overset{n}{\underset{k=0}{\dsum }}\left( -1\right) ^{k}\dfrac{%
\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) }{X+k}$ 39.g : $\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{X}+\underset{k=1}{%
\overset{n}{\dsum }}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-k}}{\left( X-1\right) ^{k}}$
;

\bigskip

40.a $\dfrac{1}{n}\underset{u^{n}=1}{\dsum }\dfrac{u}{X-u},1+\dfrac{2}{n}%
\underset{u^{n}=1}{\dsum }\dfrac{u}{X-u}.$40 .b : $\dfrac{1}{n}\underset{%
u^{n}=1}{\dsum }\dfrac{1}{X-u}-\dfrac{1}{X}.$

\end{document}
